无理数的定义和概念是什么
无限不循环的小数就是无理数。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π等。
一.无理数的定义
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
二.有理数和无理数的区别
实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：
（1）有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；4/5=0.8等等；也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数),而无理数只能写成无限不循环小数.
（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．因此，无理数也叫做非比数。
三.无理数的性质
1.无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
2.无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。
3.无理数加（减）有理数一定是无理数。
4.无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。
无理数的概念和由来
无理数的概念：无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2（根号2）等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。实数（real number)分为有理数和无理数(irrational number)。有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； 也可分为正有理数（正整数、正分数），0，负有理数（负整数、负分数）。 除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。无理数的由来：毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的 *** 与别人不同，便说：“这孩子有数学才能，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满；还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。 毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。 希伯索斯的发现，之一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的之一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。 不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
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无理数包括哪几种
高考学习 *** 和技巧如下：
1、无理数的定义：
无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，或者更严格地说，不能表示为有限小数或循环小数的实数。例如，根号2是一个无理数，因为它不能被表示为任何一个有限小数或循环小数。而如3.14这个数字是一个有理数，因为它可以被表示为314/100，也就是两个整数的比值。
2、无理数的性质：
（1）无理数是实数。实数是指在数轴上所能标出来的连续的所有的点的 *** 。而无理数是实数中的一个子集，在数轴上可以用无限的十进制小数标示出来。
（2）无理数和有理数可以通过实数的加法、减法、乘法和除法得到。
（3）无理数的开方通常是有理数或无理数。
（4）如果将一个有理数和一个无理数相乘或相加，那么结果一定是无理数。
（5）任何一个无理数与另外一个无理数相乘，得到的结果有可能是有理数或者无理数。
3、无理数的分类：
（1）代数无理数：通常是一个代数方程的根所对应的实数。这些方程可以是多项式方程，也可以是双曲函数、指数函数等方程。例如，根号2是一个代数无理数，因为它是方程x²=2的正根。
（2）超越无理数：不是任何代数方程的根所对应的实数。例如，e、π和黄金分割数（φ=(1+√5)/2）都是超越无理数。在实际的计算中，超越无理数经常会出现，这是因为这些数的定义与某些特殊的无限级数或无限积分相关。
总之，无理数是数学中非常重要的一个概念，它们存在于我们日常生活的许多领域中。掌握无理数的定义、性质和分类，有助于我们更好地理解数学和其他相关学科的知识。
无理数指数幂及其运算性质
无理数指数幂及其运算性质如下：
首先我们来看这样一个问题：√2是无理数，我们应该怎样才能把它转化成我们可以利用的形式呢？答案是，没有办法。
但是，我们可以用别的方式来逼近它。人类在求π的近似值时所用过的 *** ，到这照样能用。事实上，我们知道√2的近似值，它是1.4142135623730950488016887242097······。于是我们可以通过分数指数幂来近似的计算无理数指数幂。
我们把1.41，1.414，1.4142，1.41421······称作√2的不足近似值，把1.42，1.415，1.4143，1.41422······称作√2的过剩近似值。然后我们能够计算出以5为底数，这些数字为指数的幂的值。
这样，我们已经得到了一长串5^√2的近似值了。事实证明，它是一个实数（只可惜你找不到它）。只需要根据所需的精确度来选取近似值即可。
一般地，无理数指数幂a^b(b是无理数且a>0)是一个实数，这意味着指数的概念又一次扩充，指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂。
无理数指数幂怎么计算？
1、常见的无理数有：（1）圆周率用希腊字母 π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。
2、它是一个无理数，即无限不循环小数。
3、（2）e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。
4、有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。
5、（3）黄金比例是一个定义为 (√5-1)/2的无理数。
6、 所被运用到的层面相当的广阔，例如：数学、物理、建筑、美术甚至是音乐。
7、（4）√2是一个无限不循环小数，√2是一个无理数，√2约为1.4142。
8、（5）√5是一个无限不循环小数，√5是一个无理数，√5约为2.236。
大于一且小于二的无理数有哪些
大于1且小于2的无理数有√2、√3主要是要知道无理数的概念和大小比较。
由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于1小于4，所以有√2、√3。
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
无理数应满足三个条件:①是小数;②是无限小数;③不循环。例如 π、√2、√3 、√5、√6等等。
