傅里叶变换的意义是什么啊?傅里叶变换的目的和意义

傅里叶变换的意义是什么啊？

常见的傅里叶变换表如下：

傅里叶变换，是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

傅里叶变换的目的和意义

目的： 把声音、图像都分解为N多个三角函数的叠加。使用不同的基本函数去分解可以得到不同变换。傅里叶变换只是其中一种，还是有拉普拉斯变换、Z 变换等

下面分享相关内容的知识扩展：

如何理解数字信号处理中的离散傅立叶变换以及FFT

离散傅里叶变换：
傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
离散化也就是要采样。我们知道，时域等间隔采样，频域发生周期延拓；频域采样，时域发生周期延拓。那么要得到时域频域都离散的结果，显然时域频域都要采样。周期延拓怎么办？只取一个周期就行了。
总结一下：
之一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；
第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。

FFT：
这就是DFT的一种快速算法。
复数的加法乘法计算量很大，FFT利用了DFT中WN的周期性和对称性，把一个N项序列按奇偶分组，分为两个N/2项的子序列，继续分解，迭代下去，大大缩减计算量。具体算法就看那张蝶形图吧。
FFT对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅里叶变换，可以说是进了一大步。

求傅立叶变换可以直接把每个部分变化后相加吗

是的，需要把每个部分变化后相加。
“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，

到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?
傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：
以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自， *** ）
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。


这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为：


即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以


来代换，而形成新的变换对:

或者是因系数重分配而得到新的变换对：


一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。
分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。

当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换（cosine transform）或正弦变换（sine transform）.

另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω) = F*(ω)成立.

傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：


其中Fn为复幅度。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：



其中an和bn是实频率分量的幅度。
离散时域傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换（DFT），将函数xn表示为下面的求和形式：


其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为O（n*n），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为O（n*lgn）。（后面会具体分享FFT是如何将复杂度降为O（n*lgn）的。）计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的 *** 。

傅立叶变换为什么要对函数f乘以exp

傅里叶变换公式